Лабораторные работы по общему курсу физики

Измерения и погрешности измерений
Построение и оформление графиков
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
Определение ускорения свободного падения
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11
МЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ТЕЛ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ ПРИ КОНВЕКЦИИ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ

Измерения и погрешности измерений

Основная задача физического эксперимента заключается в измерении физических величин. Измерение - операция сравнения физической величины с величиной того же рода, принятой за единицу.

Различают измерения прямые и косвенные. К прямым измерениям относятся непосредственные измерения физических величин измерительными приборами (например измерение промежутка времени секундомером, силы тока амперметром и т.д.). К косвенным измерениям относятся измерения величин, связанных функциональной зависимостью с величинами, измеряемыми непосредственно. Например, плотность жидкости можно найти, разделив массу жидкости на ее объем. Масса жидкости и ее объем измеряются непосредственно.

Никакое измерение нельзя выполнить абсолютно точно, результат любого измерения всегда содержит погрешность. Поэтому необходимо знать, насколько полученный результат близок к истинному значению, т.е. указать точность измерения. Для этого вместе с полученным результатом указывают приближенную погрешность измерений. Например, запись  означает, что истинное значение величины х лежит, скорее всего, в пределах от 35 до 41. Оценивать и указывать точность результата измерений очень важно, без этого ценность результата часто равна нулю.

Погрешности измерений разделяют на систематические, случайные и промахи.

Систематические погрешности вызываются причинами, действующими упорядоченным образом при многократном повторении измерений. Они приводят к отклонениям результатов измерений в одну сторону от истинного значения физической величины и остаются постоянными на протяжении всей серии измерений. Систематические погрешности могут быть следствием неточности приборов, погрешностей экспериментальной установки и т.п.

В принципе систематические погрешности можно устранить или учесть.

Случайные погрешности зависят от большого числа случайных факторов, действие которых в каждом опыте различно и не может быть учтено. Случайные погрешности всегда присутствуют в эксперименте и служат причиной разброса результатов отдельных измерений при их многократном повторении. Имеются надежные способы уменьшения этих погрешностей. Например, увеличивая число измерений и находя среднее арифметическое результатов, мы будем получать величину, которая будет все ближе к истинному значению. Случайные погрешности являются неустранимыми, но с помощью теории вероятностей можно оценить их величину.

Промахи, или грубые погрешности, вызываются неисправностью приборов, невнимательностью экспериментатора и т.п. В большинстве случаев промахи хорошо заметны, так как соответствующие им цифровые отсчеты резко отличаются от других. При обработке результатов измерений такие отсчеты следует отбрасывать. Промах можно заметить только при многократном измерении одной и той же величины. Поэтому, какую бы величину вы ни измеряли, никогда не ограничивайтесь одним измерением. Для исключения промаха необходимо работать четко и внимательно, аккуратно записывая отсчеты.

Таким образом, результат каждого измерения содержит систематическую и случайную погрешности. Задача экспериментатора состоит в том, чтобы оценить их величины.

Прямые измерения

Случайные погрешности. Доверительный интервал и

доверительная вероятность

Когда результат измерений представляет собой случайную величину и каждое измерение содержит случайную погрешность, то оценку точности этих измерений можно получить с помощью методов математической статистики.

Предположим, мы провели серию измерений некоторой физической величины x. Результат отдельного измерения обозначим xi, общее число измерений – n. Если систематическая погрешность отсутствует, разумно предположить, что значения xi расположатся вблизи неизвестного нам истинного значения x измеряемой величины, причем отклонения в сторону больших и меньших значений будут равновероятными. Тогда в качестве наилучшего приближения к истинному значению следует взять среднее арифметическое  отдельных измерений:

. (1) 

Для упрощения вычислений в качестве приближенного значения измеряемой величины можно взять среднее между максимальным и минимальным значениями, полученными при измерениях:

 (2)

Точность соответствия среднего значения истинному значению зависит от ряда факторов и в первую очередь от точности каждого измерения и от числа измерений. Выполнив измерения, нужно привести результат и дать информацию о его точности. Принято указывать интервал значений измеряемой величины , в пределах которого с определенной вероятностью может оказаться истинное значение измеряемой величины. Величина  называется абсолютной погрешностью результата; интервал от  до  – доверительным интервалом.

Для того чтобы приведенный доверительный интервал имел конкретный смысл, нужна количественная характеристика его достоверности. Такая характеристика (вероятность того, что среднее значение x отличается от истинного не более чем на ) называется доверительной вероятностью или надежностью. Обозначим ее a. Поясним смысл этой величины примером.

Пусть результат серии измерений записан в виде  и сказано, что приведенный доверительный интервал (от 35 до 41) соответствует доверительной вероятности a=0,9. Что это означает?

Если мы произведем серию измерений, например N=100 измерений, то в N =90 случаях результаты будут отличаться от истинного значения измеряемой величины не более чем на =3, а остальные результаты выйдут за пределы доверительного интервала. Но погрешность результата измерений недостаточно характеризует собой достоинство измерения. Она не позволяет оценить сравнительную точность нескольких разнородных величин. Например, результат измерения сопротивления проводника R=(28±2) Ом, результат измерения его длины L=(400±2) см. Что точнее измерено? Погрешности об этом ничего не говорят. В таких случаях вычисляют относительные погрешности, т.е. отношение погрешности к среднему результату измерений: 

 (3)

и производят их сравнение. В данном случае =»0,07, 

==0,005; измерение длины выполнено точнее.

Относительная погрешность может быть выражена в процентах:

. (3¢

В данном примере =7%, =0,5%.

Окончательный результат приводится с указанием абсолютной и относительной погрешностей и доверительной вероятности: 

 ,   ,  ,  .

Значащими цифрами называются все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Например, в числе 0,00385 три значащие цифры; в числе 0,003085 их четыре; в числе 2500 – четыре; в числе 2,5·103 – две.

Теория ошибок показывает, что нет смысла проводить вычисление погрешностей с большой точностью. Промежуточные вычисления погрешностей производят не более чем с двумя значащими цифрами. При записи результата измерения в стандартной форме достаточно ограничиться одной значащей цифрой в погрешности (т.е. округлить до одной значащей цифры), но если первая значащая цифра – единица, нужно оставить две значащие цифры. После этого среднее значение округляется так, чтобы в нем осталось столько же знаков после запятой, сколько их получилось в погрешности.

Примеры правильной записи результата измерения:

x = (5,290±0,013) мм; x = (4,52±0,03) мм;

x = (7,2±0,8) мм; x = (49±3) мм.

Примеры неправильной записи результата измерения:

x = (5,29±0,01) мм; x = (5,2900±0,0134) мм;

x = (5,29±0,013) мм; x = (4,521±0,032) мм; x = (7±0,8) мм.

Некоторые методы определения доверительного интервала

Метод Корнфельда. Доверительный интервал выбирается в пределах от минимального результата измерений до максимального:

.

Для  отсюда получаем формулу (2), а для – выражение

. (4)

Как доказывается в теории, такому доверительному интервалу соответствует доверительная вероятность

 (5)

где n – число измерений в данной серии. Недостаток метода в том, что при заданном числе измерений мы не можем произвольно выбрать доверительную вероятность, ибо она ”жестко” определяется числом измерений n (см. формулу (5)).

Метод Стьюдента. В математической статистике разработан метод определения доверительного интервала с заданной доверительной вероятностью при любом числе измерений (в том числе и малом). Согласно этому методу в качестве лучшей меры точности результата измерений взято среднеквадратичное отклонение , равное

. (6)

Оно показывает, насколько может уклоняться от истинного значения   среднее арифметическое   наших измерений.

В теории ошибок интервал возможных значений величины обычно измеряют в единицах , т. е. , где  – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и от доверительной вероятности a.

Методы математической статистики позволяют рассчитать величину   для различных доверительных вероятностей a и различных n; они приведены в таблице.

Пользуясь значениями коэффициента Стьюдента, можно найти доверительный интервал, в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной доверительной вероятностью, вычислив погрешность результата по формуле

, (7)

или определить, сколько измерений необходимо провести, чтобы результат имел точность не ниже заданной.

Из таблицы, с учетом соотношения (7), видно, что чем больше доверительная вероятность a, тем шире доверительный интервал при данном числе измерений n и, наоборот, чем меньше a, тем уже доверительный интервал.

Значения коэффициентов Стьюдента ta,n

n

a

0,6

0,8

0,9

0,95

0,98

2

1,38

3,08

6,31

12,71

31,82

3

1,06

1,89

2,92

4,30

6,97

4

0,98

1,64

2,35

3,18

4,54

5

0,94

1,53

2,13

2,78

3,75

6

0,92

1,48

2,02

2,57

3,37

7

0,91

1,44

1,94

2,45

3,14

8

0,90

1,42

1,90

2,37

3,00

9

0,89

1,40

1,86

2,31

2,90

10

0,88

1,38

1,84

2,26

2,82