Система счисления Сокращение обыкновенных дробей Иррациональные числа Понятие комплексного числа Квадратный трёхчлен Степенная функция Преобразовать в дробь степень Формулы приведения

Алгебра лекции и задачи

Тригонометрические выражения

Пример Найдите значения выражений

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) 1; 2)

Периодические функции

Функция f называется периодической с периодом T ≠ 0, если для любого x из области определения функции выполнено:

Если функция f имеет период T , то она, очевидно, имеет период nT , где Поэтому говорят о наименьшем положительном периоде (НПП) функции f . Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Так, например, f ( x ) = C , где C − произвольная постоянная, является периодической, однако любое положительное число является её периодом. Очевидно, среди них нет наименьшего.

Пример 3

Доказать, что НПП функции y = sin x является 2π.

Показать решение

Из определения функции следует, что у точек x и x +  2π одинаковая ордината, следовательно, sin x = sin ( x + 2π), а это означает, что 2π является периодом функции sin x . Пусть T − некоторый период функции y = sin x . Тогда для всех x должно выполняться равенство sin x = sin ( x + T ). При x = 0 имеем sin T = 0. Значит, T может принимать значения только π n , где Нас интересуют T < 2π. Таким периодом может быть только T = π, однако T = π не является периодом данной функции, так как равенство sin x = sin  ( x + π) неверно при Значит, НПП функции y = sin x является T = 2π.

Аналогично можно показать, что функция y = cos x также имеет НПП T = 2π. А функции y = tg x и y = ctg x имеют НПП T = π.


Алгебра