Система счисления Сокращение обыкновенных дробей Иррациональные числа Понятие комплексного числа Квадратный трёхчлен Степенная функция Преобразовать в дробь степень Формулы приведения

Алгебра лекции и задачи

Итак, для a  > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.

Пусть a  > 0,  b  > 0, x и y − любые действительные числа. Тогда справедливы следующие свойства степени с любым действительным показателем:

  1. a x  ·  a y  =  a x  +  y .
  2. a x  :  a y  =  a x  –  y .
  3. ( a x ) y  =  a xy .
  4. a x  ·  b x  = ( ab ) x .

Выше мы определили значение выражения a b для всех вещественных a  > 0 и всех вещественных b . Теперь мы можем определить степенную функцию.

 

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y  =  x a , x  > 0.

Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x .

К основным свойствам степенной функции y  =  x a при a  > 0 относятся:

  1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
  2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
  3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
  4. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если то
  5. График степенной функции при a  > 0 изображён на рисунке.

1
Рисунок 2.2.4.1.
2
Рисунок 2.2.4.2.

К основным свойствам степенной функции y  =  x a при a  < 0 относятся:

  1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
  2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
  3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
  4. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если то
  5. График степенной функции при a  < 0  изображён на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:

  1. если n  >  k .
  2. на участке x  > 1, если
  3. на участке 0 <  x  < 1, если
  4.   Пусть задано числовое множество Если каждому числу x     D поставлено в соответствие единственное число y , то говорят, что на множестве D задана числовая функция : y  =  f  ( x ),  x     D .  Множество D , называется областью определения функции и обозначается D  ( f  ( x )).

    Разложим числитель и знаменатель на множители.

    Привести к общему знаменателю дроби

    Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений.

    Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле:

    Было определено понятие степени натурального числа с натуральным показателем. Обобщим это определение на случай произвольного действительного числа.


Алгебра