Система счисления Сокращение обыкновенных дробей Иррациональные числа Понятие комплексного числа Квадратный трёхчлен Степенная функция

Алгебра лекции и задачи

Квадратный трёхчлен

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

 

Многочлен ax  +  b , где a ,  b − числа, x − переменная, называется многочленом первой степени .

 

Многочлен где a ,  b ,  c − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени ( квадратным трёхчленом , квадратичной функцией ).

 

Многочлен где a ,  b ,  c ,  d − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени .

 

Вообще, многочлен   P n ( x ) =  a n x n  +  a n  – 1 x n  – 1  +  a n  – 2 x n  – 2  + ... +  a 1 x  +  a 0, где − числа, x − переменная, называется многочленом n -ной степени . Традиционно называется старшим коэффициентом , а − свободным членом многочлена.

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены с действительными коэффициентами.

 

Модель  2.1. Степенная функция

 

Действительное число a называется корнем многочлена P n  ( x ), если  P n  ( a ) = 0.

Корень многочлена первой степени легко угадывается: В самом деле:

Корни квадратного трехчлена можно найти, если воспользоваться так называемым методом выделения полного квадрата . Его суть проще всего увидеть на примере. Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена: Выражение D  =  b 2  – 4 ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Продолжим преобразования в предположении, что D ≥  0: Воспользуемся теперь формулой сокращённого умножения для разности квадратов.

Обозначим и Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид: ax 2  +  bx  +  c  =  a ( x  –  x 1 )( x  –  x 2 ). Отсюда непосредственно видно, что числа x 1  и  x 2 являются корнями квадратного трехчлена ax 2  +  bx  +  c . Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители .

Квадратный трехчлен раскладывается на множители: ax 2  +  bx  +  c  =  a ( x  –  x 1 )( x  –  x 2 ), где и в том случае, если D ≥ 0.

Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax 2  +  bx  +  c не имеет действительных корней.

Итак, установлено, что если D ≥ 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D  = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.

Разложить на множители квадратный трехчлен x 2  – 4 x  + 3. Решите уравнение

Корни многочлена Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто.

Пример Разложить на множители многочлен x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16.

Разложить на множители многочлен x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6.

Алгебраическое выражение − это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и скобок.

Многочленом называется сумма одночленов. Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду, то говорят, что это многочлен стандартного вида . Алгебраическое выражение, не содержащее операции деления и извлечения корня (такое выражение называется целым ), всегда может быть приведено к многочлену стандартного вида. Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его слагаемых.

  Пусть и Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство Это число называется арифметическим корнем n -ной степени из неотрицательного числа и обозначается При этом число a называется подкоренным числом , а число n − показателем корня .

Пример

Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.
Алгебра Решение контрольной