Система счисления Сокращение обыкновенных дробей Иррациональные числа Понятие комплексного числа Квадратный трёхчлен Степенная функция

Алгебра лекции и задачи

Системы счисления

Система счисления – это совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе. Непозиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа не зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе, и всегда одно и то же.

В процессе развития человеческой цивилизации люди использовали различные системы счисления, однако самой удобной для практических нужд оказалась десятичная система счисления. Разумеется, во многом это было связано с физиологическими особенностями человеческого тела; в самом деле, ведь у человека на руках десять пальцев. Конечно же, не нужно думать, что другие системы счисления совсем не используются. Например, для различных машинных вычислений необыкновенно эффективны вычисления в двоичной системе счисления. Познакомимся же с принципом записи числа в позиционной системе счисления.

Любое натуральное число n может быть представлено в q -ичной системе счисления: (1) где q – основание системы счисления, a 0,  a 1, ...,  a k – числа, равные 0, 1, ...,  q  – 1, причём a k ≠ 0.

В частности, десятичная система счисления основана на представлении чисел в виде: (2) где a 0,  a 1, ...,  a k – числа от 0 до 9, причём a k ≠ 0. Если справедливо последнее соотношение, то число n записывают коротко так: или просто Две последние записи обозначают одно и тоже и применяются одинаково часто.

Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Векторная алгебра и аналитическая геометрия Примеры

Для того, чтобы перевести число, записанное в q -ичной системе счисления, в десятичную систему счисления, нужно просто провести все вычисления в формуле

Понятие натуральных чисел В этом курсе мы будем исходить из того, что умение считать и различать разные количества предметов – врожденные способности человека. Возьмем в руки камушки, как это делали пифагорейцы, будем прибавлять их по одному, называть последовательно каждое количество своим именем и таким «наглядным» способом определим сразу два основных для алгебры понятия – число и операцию увеличения на единицу.

Приведем без доказательства законы, которые впоследствии позволят определить операции сложения и умножения не только для чисел, но и для гораздо более сложных объектов, таких, как множества, функции, группы и так далее.

Приоритет арифметических операций в числовом выражении следующий: вначале выполняются действия в скобках; внутри скобок вначале выполняют умножение и деление, после чего сложение и вычитание.

Для натурального числа b всякое целое число a единственным образом представимо в виде a  =  bq  +  r , где 0 ≤  r  ≤ | b |.

Более удобный способ отбора составных чисел – решето Эратосфена – предложил в III в. до н. э. древнегреческий математик Эратосфен.

Определить, является ли большое число простым, очень непросто. В настоящее время эта проблема решается при помощи ЭВМ, однако даже на самых быстрых из современных ЭВМ доказательство того, что число, состоящее из нескольких сотен цифр, является простым, может занять месяцы и годы. На сложности определения простоты чисел основаны современные механизмы шифрования данных.

Общим делителем нескольких чисел называется число, являющееся делителем каждого их этих чисел. Среди всех делителей всегда есть наибольший.

Два натуральных числа a и  b , разность которых кратна натуральному числу m , называются сравнимыми по модулю m : a ≡ b (mod m ).

Пример  Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.


Алгебра Решение контрольной